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作者: 量子学派
出版社: 北京大学出版社
出版年: 2020-9-1
页数: 312

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群论：现代代数学的来临

为什么数学家对五次方程如此迷恋？因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，数学开始逐步进入到精妙的群论 1 领域。

群论开辟了一块全新的战场，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一个崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

群论的出现，同样奠定了20世纪的物理基础。从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。

一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般降临，甚至延续至今。杨振宁的规范场论建立了当代粒子物理的标准模型，它的基础就是群论中的李群 2 和李代数，专门描述物理上的对称性。

如今的物理和数学显然已经无法想象没有群论的日子，算术和拓扑的交融是现代数学中一个极其神秘的现象，伽罗瓦群则在其中扮演着重要的角色。

认真观察伽罗瓦群与拓扑中的基本群 3 ，会发现两者十分相似。为了更深入地理解拓扑本质，20世纪数学界顶级天才格罗滕迪克提出了今天仍然神秘的Motive理论，而伽罗瓦的理论在这里可以看作零维的特殊情况。

另一种不同角度的观点则认为，伽罗瓦群（基本群）完全决定了一类特殊的几何对象，这是格罗滕迪克提出的anabelian理论。值得一提的是，近年来因宣称证明了abc猜想而引起热议的望月新一 4 ，他的理论研究也属于这一方向。

而在代数数论中，伽罗瓦群是最核心的对象，它与“表示论”的融合则是另一个现代数学的宏伟建筑——朗兰兹纲领 5 的梦想，其与上面提到的Motive理论也是有机结合在一起的，它们共同构成了我们称之为算术几何领域中壮阔的纲领蓝图。

但这仅仅是伽罗瓦理论的现代演化的一部分，不过也是最激动人心的一部分。